Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

TERMAL CALCULATION OF TANKS ON THE PERMAFROST. OPTIMISATION OF THE COMPUTATIONAL DOMAIN SELECTION PROCESS FOR FRINGE EFFECT REDUCTION

Markov E.V. 1 Pulnikov S.A. 1
1 Tyumen State Oil and Gas University
Today the tank’s stability on the permafrost is actual problem in designing. The choice of the foundation construction must be confirmed by thermal calculation, which are usually making on the computer and with using of numerical methods to find the solution of heat transfer differential equation. Using of the numerical methods is accompanied by fringe effects, which reduce the accuracy. The main limitation of current approach for finding the size of the computational domain for necessary accuracy has been shown. Analytical expression for estimation of the fringe effects has been proposed. This expression has been used for creating new nomograms and method for finding the optimal depth of computational domain depending on necessary accuracy, estimated depth and radius of thawing halo. The expression for the calculation optimal computational domain radius has been found.
permafrost
tank
stationary heat transfer equation in cylindrical coordinate system
Laplace’s equation
boundary condition
fringe effect
Fourier – Bessel series
Green’s function for half-space in cylindrical coordinate system
optimal size of the computational domain

Резервуарный парк является одним из наиболее ответственных объектов в нефтяной отрасли. Обеспечение устойчивости и безаварийной эксплуатации в условиях многолетнемерзлых грунтов (ММГ) часто осложняется необходимостью хранения продуктов при положительной температуре. Техногенное тепловое воздействие приводит к оттаиванию ММГ в основании и развитию неравномерных осадок. В подобных условиях особенно актуален вопрос о повышении достоверности прогнозных тепловых расчетов ореолов оттаивания ММГ, т.к. именно тепловой расчет является определяющим в выборе конструкции фундамента резервуара.

На сегодняшний день задача прогнозирования глубины ореолов оттаивания решается численными методами [1, 3–5, 7–14]. Однако время решения таких задач нелинейно зависит от точности решения (кубическая зависимость для двумерных задач и 4-я степень для трехмерных при использовании явных схем метода конечных разностей). К тому же численные методы не позволяют учитывать неограниченность размеров грунтового массива в основании резервуара в связи с математическими ограничениями. Последнее обстоятельство приводит к появлению краевых эффектов, которые искажают расчетное температурное поле вблизи границ расчетной области (под расчетной областью будем понимать грунтовый массив, в котором ощущается тепловое влияние резервуара). Это заставляет выбирать размер расчетной области настолько большим, чтобы величина краевых эффектов была меньше предельно допустимой погрешности расчета. Процесс поиска подходящего размера расчетной области состоит из этапов по последовательному его увеличению. Если на очередном этапе по увеличению размера расчетной области температура перестала изменяться на величину большую, чем предельно допустимая погрешность, значит, искомый размер расчетной области найден, а краевые эффекты достаточно малы. Описанный процесс имеет ряд существенных недостатков:

1. Требуются значительные временные затраты, возрастающие на каждом этапе.

2. Поиск размера массива грунта указанным путем в условиях дефицита времени может привести к выбору неоптимальных его геометрических параметров (под оптимальным размером массива грунта здесь и далее будем понимать такой размер, который обеспечивает заданную точность решения при наименьшей площади).

Данная статья посвящена совершенствованию методики поиска оптимального размера массива грунта. Приведенная ниже методика позволяет найти оптимальный размер массива грунта исходя из необходимой точности решения.

Наиболее простым способом определения величины краевых эффектов является сравнение двух решений для одной задачи. В одном из решений краевые эффекты присутствуют, а в другом отсутствуют.

Сначала найдем решение задачи, в которой краевые эффекты присутствуют. Расчетная схема приведена на рис. 1.

В общем случае процесс изменения температурного режима основания и образования ореолов оттаивания является нестационарным. Однако наибольшее тепловое влияние на ММГ достигается в конце срока службы резервуара. К этому времени температурный режим основания стабилизируется, а краевые эффекты достигают максимального значения. Это позволяет решать задачу об определении краевых эффектов в стационарной постановке на основании линейного дифференциального уравнения теплопроводности в цилиндрической системе координат (уравнение Лапласа):

markov01.wmf (1)

pic_74.tif

Рис. 1. Расчетная схема для определения температуры под резервуаром: Tсоор – температура на границе контакта резервуар-грунт, °С; P – радиус резервуара, м; H – глубина моделируемого массива грунта, м; R – радиус моделируемого массива грунта, м; h – предполагаемая глубина ореола оттаивания; l – предполагаемый радиус ореола оттаивания; ИГЭ – инженерно-геологический элемент

Граничные условия для расчетной схемы на рис. 1:

markov02.wmf (2)

markov03.wmf (3)

markov04.wmf (4)

Решение для рассматриваемого случая хорошо известно. Оно представляет собой ряд Фурье – Бесселя [6]:

markov05.wmf (5)

где Jv(x) – функция Бесселя первого рода, v-го порядка, вещественного аргумента; markov06.wmf – n-й положительный корень функции Бесселя первого рода, v-го порядка, вещественного аргумента.

Мы получили выражение (5)–(6), для температуры в ограниченном цилиндрическом массиве грунта с теплым резервуаром на поверхности. Теперь необходимо решить ту же задачу для неограниченного массива грунта R → ∞, H → ∞, т.е. для случая с отсутствием краевых эффектов. Для этого применим теорию функций Грина для полупространства z > 0 в цилиндрической системе координат [2] с учетом аксиальной симметрии задачи и граничного условия (4):

markov07.wmf (6)

pic_75.tif

Рис. 2. Изолинии величины ΔW. Расчет выполнен для случая H = 2 м, R = 3 м, Р = 1 м

Теперь, когда известны формулы, определяющие распределение температур как для случая с краевыми эффекта (5), так и без них (6), можно рассчитать их приведенную разницу, которая и будет представлять приведенную величину краевых эффектов:

markov08.wmf (7)

На рис. 2 изображен график приведенной величины краевых эффектов, рассчитанный по формулам (5)–(7).

Из графика видна характерная особенность краевых эффектов – на поверхности они отсутствуют, т.к. граничные условия первого рода (4) – совпадают. При увеличении глубины краевые эффекты монотонно увеличиваются, достигая максимального значения на максимальной глубине. А значит, при вычислении краевых эффектов достаточно проверять отклонения на нижней границе.

С использованием формул (5)–(7) были составлены номограммы и методика, которые позволяют найти оптимальный размер расчетной области, исходя из требуемой точности расчета и предполагаемой глубины ореолов оттаивания. Далее приведена последовательность действия читателя при использовании предлагаемой методики:

1. Сбор исходных данных:

∆Tmax – необходимая точность решения, °C;

∆Tcoop – модуль разности температуры сооружения и температуры грунта на глубине нулевых годовых амплитуд, °C;

hmax – максимальная глубина, на которой необходимо обеспечить заданную точность решения ∆Tmax (соответствует предполагаемой глубине ореола оттаивания), м;

lmax – максимальный радиус, на котором необходимо обеспечить заданную точность решения ∆Tmax (соответствует предполагаемому радиусу ореола оттаивания), м;

P – радиус резервуара, м.

2. Расчет безразмерных величин:

markov09.wmf – приведенная точность расчета;

markov10.wmf – приведенная максимальная глубина, на которой необходимо обеспечить заданную точность решения q.

markov11.wmf – приведенный максимальный радиус, на котором необходимо обеспечить заданную точность решения q.

3. Нахождение безразмерной минимальной глубины массива грунта H: используя номограммы (рис. 3–5), необходимо найти величины h, l и q. Откладывая перпендикуляр от оси h вертикально вверх, необходимо найти точку пересечения с изолинией q. От найденной точки откладывается перпендикуляр влево до пересечения с осью lnH.

4. Расчет абсолютной глубины массива грунта:

Hабс = P∙H – минимальная глубина массива грунта, которая обеспечит заданную точность решения ∆Tmax, м.

pic_76.tif

Рис. 3. Номограмма для определения оптимальной глубины расчетной области H для случая h ∈ [0,1; 2], l = 1

pic_77.tif

Рис. 4. Номограмма для определения оптимальной глубины расчетной области H для случая h ∈ [2; 10], l = 1

pic_78.tif

Рис. 5. Номограмма для определения оптимальной глубины расчетной области H для случая h ∈ [10; 40], l = 1

5. Определение оптимального радиуса массива грунта:

markov12.wmf (8)

Формула (8) позволяет найти оптимальный радиус массива грунта. Она действительна в диапазоне markov13.wmf.

Выводы

Найдены аналитические выражения для распределения температуры под резервуаром в однородном ограниченном и неограниченном массивах грунта с учетом аксиальной симметрии. Рассчитаны величины краевых эффектов, по которым составлены номограммы и методика для определения оптимальной глубины расчетной области в зависимости от требуемой точности решения и предполагаемой глубины и радиуса ореола оттаивания. Получена формула для расчета оптимального радиуса массива грунта по известной глубине.