Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

MODELING OF NON-STATIONARY ELASTIC STRESS WAVES IN A DEFORMABLE ENVIRONMENT ON THE SURFACE OF THE HALF-PLANE WITH AN EXPLOSIVE IMPACT IN THE OBJECT STORING HAZARDOUS SUBSTANCES

Musayev V.K. 1
1 MESI
Provides some information modeling non-stationary elastic waves in a half-plane with explosive effects in the object storing hazardous substances. To solve the tasks apply the wave equation in mechanics of deformable solids. Based on the finite element method in the movements of the developed algorithm and software package for solving linear flat two-dimensional problems, which allow us to solve problems with non-stationary dynamic effects on complex systems. When developing complex programs used algorithmic language Fortran-90. Applied quasi-regulated approach in approximating the study area. Is dual voltage characteristic points of the free surface of an elastic half-plane.
non-stationary elastic waves
diffraction waves
wave equations
dynamics of continuous media
wave propagation
wave theory explosive safety
interaction with boundaries
a half-plane
non-reflecting boundary conditions
the object storing hazardous substances
complex systems
algorithmic language Fortran-90
quasi-regulated approximation
the study area
the voltage on the open circuit.

Постановка задачи при нестационарных волновых воздействиях

В настоящее время обеспечение безопасности уникальных объектов является приоритетной задачей фундаментальной и прикладной науки. В работах приведена информация о постановке и численной реализации нестационарных волновых задач механики деформируемого твердого тела [1–10]. Для решения задачи о моделировании упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат missing image file, которому в начальный момент времени missing image file сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

missing image file(1)

где σх, σy и τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy , γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; missing image file– скорость продольной упругой волны; missing image file – скорость поперечной упругой волны; v – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; missing image file – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

В работах [1–2, 8] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в деформируемых объектах при взрывных воздействиях.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

missing image file, (2)

где missing image file – диагональная матрица инерции; missing image file – матрица жесткости; missing image file – вектор узловых упругих перемещений; missing image file – вектор узловых упругих скоростей перемещений; missing image file – вектор узловых упругих ускорений; missing image file – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя уравнение (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

missing image file (3)

Шаг по временной переменной координате Δt выбирается из следующего соотношения

missing image file, (4)

где Δl – длина стороны конечного элемента.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.

В работах приведена информация о достоверности численного моделирования нестационарных волн напряжений в областях различной формы [5, 9–10].

Решение задачи о воздействии взрывной волны в объекте хранения опасных веществ

Рассмотрим задачу о воздействии нестационарной взрывной волны (рис. 2) в объекте хранения опасных веществ (рис. 1).

По нормали к контуру FGHI приложено нормальное напряжение σn, которое при 0≤n≤10 (n = t/Δt) изменяется линейно от 0 до P, а при 10≤n≤20 от P до 0 (P = σ0). На контуре GF приложено нормальное напряжение σy (σy = σ0, σ0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре HI приложено нормальное напряжение σy (σy = σ0, σ0 = - 0,1 МПа (- 1 кгс/см2)). На контуре FI приложено нормальное напряжение σx (σx = σ0, σ0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)). На контуре GH приложено нормальное напряжение σx (σx = σ0, σ0 = - 0,1 МПа (- 1 кгс/см2)). Граничные условия для контура JKLA при missing image file missing image file. Отраженные волны от контура JKLA не доходят до исследуемых точек при 0≤n≤200. Контур ABCDEJ свободен от нагрузок.

Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = Δx = Δy; Δt = 1,393×10-6 c; E = 3,15×104 МПа (3,15×105 кгс/см2); v = 0,2; ρ = 0,255×104 кг/м3 (0,255×10-5 кгс с2/см4); Cp = 3587 м/с; Сs = 2269 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 14250 узловых точек. Решается система уравнений из 57000 неизвестных.

На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения missing image file(missing image file) во времени n в точках missing image file (рис. 3), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости.

Растягивающее упругое контурное напряжение missing image file от точки A1 до точки A10 изменяется от значения missing image file= 0,2 до значения missing image file= 0,326. Сжимающее упругое контурное напряжение missing image file от точки A1 до точки A10 изменяется от значения missing image file= - 0,191 до значения missing image file= - 0,259.

missing image file

Рис. 1. Постановка задачи о воздействии упругой взрывной волны в объекте хранения опасных веществ

missing image file

Рис. 2. Воздействие типа дельта функции для задачи

missing image file

Рис. 3. Точки, в которых получены напряжения

missing image file

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения ̅σk во времени t/Δt в точке A1

missing image file

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения ̅σk во времени t/Δt в точке A2

missing image file

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения ̅σk во времени t/Δt в точке A3

Растягивающее упругое нормальное напряжение ̅σх ( ̅σх = σх / |σ0| ) от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σх =0,22 до значения ̅σх =0,301. Сжимающее упругое напряжение ̅σх от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σх = - 0,178 до значения ̅σх = - 0,204.

Растягивающее упругое нормальное напряжение ̅σy ( ̅σy = σy / |σ0| ) от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σy = 0,414 до значения ̅σy = 0,522. Сжимающее упругое напряжение ̅σy от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅σy = - 0,174 до значения ̅σy = - 0,233.

Растягивающее упругое касательное напряжение ̅τxy (̅τxy = ̅τxy / |σ0|) от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅τxy = 0,071 до значения ̅τxy = 0,073. Сжимающее упругое касательное напряжение ̅τxy от точки B1 до точки B10 изменяется от значения ̅τxy = - 0,073 до значения ̅τxy = - 0,114.

Выводы

1. Для прогноза безопасности объекта хранения опасных веществ при взрывных воздействиях применяется численное моделирование.

2. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при взрывных воздействиях на сооружения.

3. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.

4. Задачи решаются с методом сквозного счета, без выделения разрывов.

5. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.

6. Решена задача о воздействии взрывной волны в объекте хранения опасных веществ.

7. Получены напряжения в точках на поверхности упругой полуплоскости около объекта хранения опасных веществ.