Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH A SHIFT FOR MIXED TYPE EQUATION OF THE THIRD ORDER

Karova F.A. 1
1 FGBOU VPO «Kabardin-Balkar state university n.a. Kh.M. Berbekov»
Для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка путем редукции к уравнению Фредгольма второго рода исследован вопрос разрешимости задачи со смещением.
The question of resolvability of a problem with displacement was investigated by a reduction to the Fredgolm᾽s equation of a of the second sort for the equation of the mixed parabolo-hyperbolic type of the third order.
a boundary value problem with a shift
operator of fractional differentiation
operator of fractional integration
Koshi᾽s problem
Fredgolm᾽s equation
singular integral equation.

Введение

Одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. В настоящее время эта теория интенсивно развивается, так как появилось достаточно много прикладных задач, математическое моделирование которых обусловило исследование различных типов уравнений в рассматриваемой области изменения независимых переменных. Понятие уравнений смешанного типа в настоящее время включает всевозможные комбинации двух и более классических типов уравнений. Особый интерес представляют краевые задачи для уравнений с частными производными смешанного типа, так как они мало исследованы и находят применение в важных вопросах механики, физики и техники. Нелокальные краевые задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений исследовались в работах [2-4], [5-9] и [11-13]. Подробная библиография содержится в [2].

Цель исследования: доказать существование решения задачи со смещением для параболо-гиперболического уравнения.

Постановка задачи.

Рассмотрим уравнение

01_2.pdf

в конечной области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых х = 0, х = 1, y = 1 соответственно и характеристиками уравнения (1)

01_2.pdf

Пусть

01_2.pdf

Задача. Найти функцию u(x,y) со следующими свойствами:

01_2.pdf

01_2.pdf

2. u(x,y) – решение уравнения (1) при y ≠ 0;

3. u(x,y) удовлетворяет условиям

01_2.pdf

01_2.pdf 01_2.pdf

причем

01_2.pdf

01_2.pdf

где J – интервал 0 < х < 1 прямой y = 0; θ0(x), θ1(x) – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0) с характеристиками AC,BC.

Доказательство существования решения задачи.

Решение задачи Коши для уравнения (1) в области Ω2 при |λ| < 1 имеет вид [1]

01_2.pdf 01_2.pdf

где

01_2.pdf

01_2.pdf

Вычислим 01_2.pdf

01_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

где Dlax – здесь и далее, операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро – дифференцирования [10].

Переходя в уравнении (1) к пределу при y → +0, получим соотношение между τ(x) и ν(x), принесенное из Ω1 на J: 02_2.pdf 

Проинтегрировав последнее трижды с учетом условий (2), будем иметь

02_2.pdf

02_2.pdf

Подставив u[θ0(x)], u[θ1(x)] и τ(x) из (5) в (3), получим уравнение относительно ν(x)

02_2.pdf

02_2.pdf 

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

где

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

Из условий гладкости на известные функции следует, что 03_1.pdfУравнение (6) после преобразований примет вид

03_1.pdf

03_1.pdf

где

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

где F(a,b,c,z) – гипергеометрическая функция Гаусса [10].

Подействовав на обе части полученного уравнения оператором pic13631.PNG, окончательно получим уравнение Фредгольма второго рода

03_1.pdf

где

03_1.pdf

04_1.pdf

Таким образом, вопрос существования решения задачи (1) – (3) эквивалентен вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода (8) со слабой особенностью в ядре К(х,ξ). По найденному ν(х) можно определить τ(х) по формуле (5) и решение задачи (1) – (3) в области Ω2 по формуле (4), а в области Ω1 как решение задачи (1), (2), u(x,0) = τ(x) [2].