Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

Рассмотрим гамильтонову функцию одномерной системы

f              (1)

где x и p - канонически сопряженные переменные, α - малый параметр (α<<1 ). Уравнения движения данной системы можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка:

f,                  (2)

которое называется уравнением Дюффинга [1]. Методом Линдштедта-Пуанкаре [2] получаем решение уравнения (2) в первом порядке по α

f(3)

f,               (4)

φ0 и a - произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, которые без потери общности выберем в виде f. Через f обозначены корни уравнения

f,                        (5)

где f- потенциальная функция системы (1), E- полная энергия.

f

Для определения постоянных интегрирования получаем следующую систему из которой находим, что φ0=0 и f.

Заметим, что произвольную постоянную  при таком выборе начальных условий можно выразить через полную энергию E. Второе слагаемое в скобках в последнем выражении для f является величиной пятого порядка малости по α, и в рассматриваемом приближении им можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что f и рассматривать f как корень уравнения (5). Подставив f в выражение (5), и разрешив полученное уравнение методом итераций, найдем выражение f через E

f

f

В итоге решение (3) в первом порядке по α примет вид

f

Произведем квантование полученных периодических решений уравнения Дюффинга, отобрав из них те, которые удовлетворяют условию

где f - постоянная Планка.

f

Подставив частоту (4), а также выражения для f и f в условие квантования, получим

Квантовый аналог гамильтоновой функции (1) получится при помощи известной подстановки f. Тогда приближенный спектр полученного дифференциального оператора определится по формуле

f

где f. Эта формула совпадает с результатом стандартной теории возмущений с точностью до последнего слагаемого во второй скобке. В частности, при f имеем известный случай гармонического осциллятора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:МИР, 1976, 455с.
  2. Де Брёйн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИИЛ, 1961, 247 с.
  3. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Физматгиз,1963, 748с.