Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

Рассмотрим систему дифференциально-разностных уравнений следующего вида

f

где ω>0 - положительное число, tt0 и f(0) = 0.

Условия Рауза-Гурвица для системы (1) имеют вид:

f

Исследуем устойчивость тривиального решения системы (1). Для этого определим функционал для любой непрерывной действительнозначной функции x(s), определенной для f, следующим образом:

f(3)

где f.

При выполнении условий: a>0, c>0, ac - b2 > 0, d>0, m>0, f(y)y>0 при у ≠ 0 и для всех tt0 функционал Ляпунова (3) является положительно определенным, т.е.

f

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Если выполняются условия

а) f,

б) f,

в) f

г) f

д) f,

где f, то тривиальное решение системы (1) устойчиво.

Доказательство. Для доказательства теоремы используем функционал Ляпунова

f

Тогда

f

При выполнении условий а) -д) это выражение не положительно и функция V(t,x,y) не возрастает. Это доказывает устойчивость тривиального решения системы (1).

Теорема 2. Если выполняются условия

а) f,

б) f,

в) f

г) f,

где f и f, то тривиальное решение системы (1) устойчиво.

Теорема 3. Если выполняются условия

а) f,

б) f,

в) f

г) f

д) f,

где f и f, то тривиальное решение системы (1) устойчиво.

Теорема 4. Если выполняются условия

а) f,

б) f,

в) f

г) f

д) f, где f и f, то тривиальное решение системы (1) устойчиво.

Доказательства теорем 2-4 приводятся небольшой модификацией доказательства теоремы 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Е.А. Барбашин. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.
  2. Беллман Р. и Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.