Введение

Возможности формирования структурированного пространства путем разбиения его на модулярные ячейки и моделирования невырожденных модулярных структур проанализированы в [1-3]. Получены вероятные представления гиперполиэдров в 3D пространстве и модулярные ячейки структур из правильных и полуправильных политопов 4D пространства [4-8]. Проанализированы гомологические соотношения и топологические преобразования возможных модулярных гиперячеек [9,10], а в работах [11-14] приведены вероятные механизмы проявления кубической Р-ячейки 4D пространства в ячеистых пространствах меньшей мерности.

Дана общая характеристика возможных гибридных фрактальных структур и сформулированы принципы их формирования [15-17]. В [18-23] приведены примеры формирования детерминистических фрактальных структур в 2D пространстве. Некоторые из полученных фрактальных структур в [24] рассматривались как возможные абстракции сайз-распределения фаз и конфигурации межфазных границ на поверхности композиционных материалов.

Проведена классификация возможных структурных состояний детерминистических модулярных структур с кристаллической, фрактальной и наноразмерной компонентами в 2D и 3D пространствах [25-28]. Сформулированы принципы их формирования [29, 30]. Получены и определены размерные характеристики возможных многокомпонентных структурных состояний системы [31-38]. Установлено вероятное влияние условного размерного параметра на чувствительные к особенностям структурной организации свойства систем [39, 40].

Проанализируем влияние мерности пространства d и размерного параметра объекта D на некоторое его аддитивное свойство S.

Вывод зависимости аддитивного свойства комплексного объекта от его размерности

В данной работе будем считать, что характер влияния для i-го структурного состояния определяется зависимостями типа S_i(d/D_i). В этом случае на свойство SD влияет отношение мерности пространства d и условного размерного параметра D, т.е. (d/D):

S_D = S_d K_D (d/D),

где K_D – коэффициент пропорциональности, зависящий от величины отклонения условного размерного параметра состояния от мерности пространства, в котором определена структура R. Условный размерный параметр D для каждого структурного состояния может быть рассчитан следующим образом:

D = d_r D(r) + d_f D(f) + d_n D(n),

где d_r, d_f и d_n – количества соответствующих компонент одного сорта, для кристаллической компоненты D(r) = 1, для фрактальной компоненты он совпадает с фрактальной размерностью: D(f) = DimR_f = Dim (GenR_f) < 1, для наноразмерной компоненты D(n) = (<n>/n_o) < 1, если средний размер нанообъекта <n> < n_o = 100 нм.

Проанализируем вероятное влияние мерности d пространства, в котором определено структурное состояние комплексного объекта, на величину его аддитивного свойства.

Определим геометрию структурированного 4D пространства следующим образом:

,

где над морфизмами стоят показатели степени, возведение в которые есть соответствующий оператор перехода к большей мерности пространства.

Тогда матрица, столбцы которой представляют варианты обозначений «объемов» пространственных ячеек соответствующих подпространств 4D пространства:

подразумевает наличие связей вида S = L², L = S^1/2; V = L³ = S^3/2, L = V^1/3; H = L⁴ = S² = V^4/3, L = H^1/4 и т.д.

Рассмотрим аддитивное свойство m комплексного объекта.

Случай 1 – неоднородное пространство. В зависимости от мерности подпространств 4D пространства взаимосвязи между его соответствующими подсвойствами определим следующим образом:

,

где над морфизмами стоят коэффициенты перехода к этому же свойству объекта в пространстве с более высокой мерностью.

Соответствующая матрица возможных взаимосвязей между подсвойствами свойства m:

Тогда соответствующая матрица соотношений между свойствами объекта в подпространствах с близкой мерностью выглядит следующим образом:

или

откуда имеем

m_d+1 = K_d+1 (m_d/K_d)^(d+1)/d или

m_d = K_d (m_d+1/K_d+1)^d/(d+1).

Тогда одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S с учетом равенства S_d = m_d может быть представлено следующим образом:

S_{D, d} = K_d (m_d+1/K_d+1)^d/(d+1)K_D(d/D).

Случай 2 – однородное пространство. Если взаимосвязи между подсвойствами комплексного объекта в разных подпространствах определим одинаковым образом: K_S = K_V = K_H = K_L, то соотношения между свойствами в подпространствах с близкой мерностью

(m_d+1/m_d) = (K_L m_d-2)^1/(d-1) = (K_L m_d-1)^1/d =

=(K_L m_d)^1/(d+1) =(K_L m_d+1)^1/(d+2),

откуда имеем

m_d+1 = K_L^1/(d+1) m_d^(d+2)/(d+1) или

m_d = K_L^-1/(d+2) m_d+1^(d+1)/(d+2).

Тогда влияние мерности пространства d и размерного параметра объекта D на некоторое его аддитивное свойство S с учетом равенства S_d = m_d может быть представлено следующим образом:

S_{D, d} = K_L^-1/(d+2) m_d+1^(d+1)/(d+2) K_D(d/D).

Таким образом, одновременное влияние мерности пространства d и размерности объекта D на некоторое его аддитивное свойство S может быть представлено в зависимости от степени однородности пространства двумя простыми линейными зависимостями.

Выводы

Получены возможные простые зависимости аддитивного свойства некоторого комплексного объекта от его размерного параметра D и мерности d неоднородного или однородного пространства, в котором реализуется его структурное состояние, включающее кроме кристаллической также наноразмерную и фрактальную компоненты. Отметим, что возможное влияние размерных параметров состояния поверхности, обусловленных кристаллическими фазами, наночастицами или квазифрактальными конфигурациями межфазных границ, на трибологические свойства поверхности композиционных материалов и покрытий на основе систем Ni-P и Ni-B были использованы в [41–51].