Постановка задачи при нестационарных волновых сейсмических воздействиях

Рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие.

Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

(1)

где σx, σy, τxy – компоненты тензора упругих напряжений; εx, εy и γxy – компоненты тензора упругих деформаций; u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ – плотность материала; – скорость продольной упругой волны; – скорость поперечной упругой волны; ν – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; – граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Разработка методики и алгоритма

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями (1) используем метод конечных элементов. В работах [2, 4] приведена информация о постановке волновых задах теории упругости. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений.

Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

(2)

где – диагональная матрица инерции; – матрица жесткости; – вектор узловых упругих перемещений; – вектор узловых упругих скоростей перемещений; – вектор узловых упругих ускорений; – вектор внешних узловых упругих сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2).

Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

(3)

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему

(4)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате Δt и по пространственным координатам, а именно

  (5)

где Δl – длина стороны конечного элемента.

Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы.

Достоверность рассматриваемого численного метода приведена в следующих работах [2, 6, 8-10].

Определение нестационарных волновых напряжений в плотине Койна

Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на плотину Койна с основанием (рис. 1). В работах [1, 3, 5, 7] приведена информация о численном моделировании нестационарных волн напряжений в плотинах. Начальные условия приняты нулевыми.

В сечении на расстоянии 1,5H (рис. 1) (H = 103 м) при 0≤n≤25 (n = t/Δt) скорости упругих перемещений и изменяются линейно от 0 до и , а при n > 25 и (σ0 = 0,1 МПа (1 кгс/см2)).

Контур плотины IJKABCDEF (кроме точки Е) предполагается свободным от нагрузок при t > 0. Граничные условия для контура FGHI при t > 0 Отраженные волны от контура FGHI не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 900.

Исследуемая расчетная область имеет 522 узловые точки. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = 103 м; Δ t = 0,104·10-2 c; E = 0,36·104 MПа (0,36·105 кгс/см2); ν = 0,36; ρ = 0,122·104 кг/м3 (0,122·10-5 кгс с2/см4); Сρ = 1841 м/с.

На рис. 2-7 показано изменение контурных напряжений в плотине Койна в точках 1-6 во времени t/Δt.

На рис. 8 показано изменение контурных напряжений в точках 3 и 6 на контуре плотины Койна во времени t/Δt.

Рис. 1. Постановка задачи для системы сооружение-основание (плотина Койна)

 

Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения в точке 2 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

 

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения в точке 3 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

 

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения в точке 5 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt

 

Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения в точке 6 на контуре плотины Койна
во времени t/Δt