Рассматривается динамическая обратная задача для уравнения акустики. Для применения градиентного метода Ландвебера, разрабатывается вычислительные методы решения нелинейной обратной задачи акустики. Доказываем условную устойчивость решения системы нелинейных уравнений Вольтерра [1] и определям константы устойчивости (постоянные Липшица).

Определение 1. (Класс решений обратной задачи). Будем говорить, что , если s(x) удовлетворяет следующим условиям [5]:

Определение 2. (Класс исходных данных). Будем говорить, что , если g удовлетворяет следующим условиям [5]:

Объекты и методы исследований [6]

Предположим, что для для из класса существуют , удовлетворяющие обратной задаче

(1)

(2)

(3)

(4)

для j = 1 и j = 2.

Учитывая, что

,

обозначим

(5)

Поскольку то в силу обозначений можно оценить

(6)

где . Пусть вектор-функция удовлетворяет системе

(7)

Решение задачи Aq = f предполагается, но утверждается, что существует единственное устойчивое решение для данных из окрестности точно заданных, то есть накладывается ограничение на шум во входных данных.

Для условной корректности рассматриваемой задачи, в отличие от аналогичной теоремы в [2] в нижеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки

каждой из его компонент q1, q2, q3. В работе [2] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной статье, как сказано, выше, уже использовались непосредственно оценки каждой из его компонент q1, q2, q3

Теорема. Предположим, что для , существуют решения обратной задачи

(8)

Тогда

(9)

Здесь

. (10)

Доказательство. Введем

Тогда из (8) следует

Оценим первую компоненту :

+

Учитывая, что для , получим

+

(11)

Имеем

×

≤

(12)

Оценим вторую компоненту:

Следовательно,

(13)

Оценим :

(14)

где

Во-первых, мы имеем

Во-вторых,

(15)

В-третьих,

(16)

В-четвертых,

(17)

Принимая во внимание

получим

Таким образом, имеем

Для удобства обозначим

Введем обозначения

(18)

Введем функцию

(19)

Следовательно [3]

и, применяя неравенство Гронуолла, получим

С другой стороны, учитывая равенство

имеем

Таким образом, получаем

×

+

=

Получим оценку для

По лемме Гронуолла имеем

В итоге получаем

(20)

где

Учитывая, что получим

(21)

Складывая оценки получим

где .

Результаты и их обсуждение

Теорема 1.5. Пусть для из класса существуют

как решения обратной задачи (1)–(4) соответственно. Тогда

где

×

×

+

Заключение, выводы. Для доказательства условной корректности рассматриваемой задачи, доказано теорема, где в отличие от аналогичной теоремы в [3] в вышеприведенной теореме при выводе требуемой константы в основном неравенстве использовалась не оценка вектора q, а оценки каждой из его компонент В работе [3] в выкладках норма каждой компоненты оценивалась через норму вектора q, так как оценка нормы вектора q есть сумма оценок его компонент. А в данной работе, как сказано, выше, уже использовались непосредственно оценки каждой компоненты.