Решение многих практически важных задач, возникающих при исследовании процессов фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [1], [9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10] связано с необходимостью исследования нелокальных задач для псевдопараболических уравнений [2].

Для модельного псевдопараболического уравнения А.М. Нахушевым в [8] была сформулирована краевая задача с нелокальным условием.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка.

Постановка задачи. Пусть

конечная область плоскости переменных xyt интервал прямой Для общего псевдопараболического уравнения

в области D ставится задача.

Задача. Найти регулярное в области решение уравнения (1) из класса удовлетворяющее условиям:

(2)

(3)

(4)

где – произвольно фиксированные точки из интервала γ = const f(t) и h(x) непрерывные функции.

Справедлива следующая теорема.

Теорема: Если коэффициенты уравнения (1) и заданные функции удовлетворяют условиям

а также

то задача (1)-(4) разрешима и притом единственным образом.

Доказательство. Справедливость теоремы докажем методом функции Римана [8].

В области

рассмотрим характеристическую задачу Гурса [3]

(5)

(7)

для уравнения (1), где – неизвестная пока функция из класса Пусть – функция Римана, введенная в [8], которая однозначно определяется следующими требованиями:

где – решение следующей задачи:

– произвольная точка области .

Единственность и существование функции Римана доказывается методом редукции к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [7].

Интегрируя тождество

(8)

по области с учетом свойств функции Римана и условий (5) – (7), получим

(9)

Формула (9) дает явное представление решения задачи Гурса (1), (5)-(7).

Для нахождения неизвестной функции по аналогичной схеме в рассмотрим характеристическую задачу Гурса

(10)

(11)

(12)

для уравнения (1).

Пусть – функция Римана, удовлетворяющая условиям:

где – решение задачи [5]:

– произвольная точка области .

Интегрируя тождество (9) по области и пользуясь свойством функции Римана получим

(13)

Формула (13) дает представление решения задачи Гурса (1), (10)-(12).

Тогда при выполнении условия теоремы, выполняется неравенство

С учетом (14), используя условие склеивания (4), из соотношений (9) и (13) получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ϕ(τ)

(15)

где

Так как с учетом гладкости известных функций

,

то на основании свойств функций Римана и и условия теоремы, то единственное регулярное решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (15) из класса представимо в виде

(16)

где – резольвента ядра .

После определения функции формулой (16) исследуемая задача распадается на две характеристические задачи (5) – (7) и (10) – (12) для псевдопараболического уравнения (1) единственные регулярные решения которых даются соответственно, формулами (9) и (13).

Из единственности регулярного решения указанных характеристических задач Гурса для уравнения (1) следует справедливость теоремы.

Нелокальные внутреннекраевые задачи для уравнений смешанного типа исследовались также в работах [3-7].