Математическому моделированию процессов конкуренции и сотрудничества двух фирм на различных рынках посвящено довольно много научных работ, в основном использующих аппарат теории игр и статистических решений. В качестве примера можно привести работы таких исследователей, как Курно, Стакельберг, Бертран, Нэш, Парето, основные результаты которых приведены в [4].

В данной работе авторы предприняли взглянуть на эту задачу с точки зрения экономической динамики.

Следует отметить, что динамические дифференциальные модели уже давно и успешно используются для математического моделирования самых разнообразных по своей природе процессов. Достаточно упомянуть широко использующуюся в экологии модель «хищник-жертва» Вольтера [2], математическую теорию развития эпидемий, модели боевых действий.В качестве классических примеров дифференциальных моделей экономической динамики отметим модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара, односекторную модель экономического роста Солоу [4], однопродуктовые динамические макроэкономические модели Леонтьева [3].

Задача решалась в следующей постановке.

На рынке однородного товара присутствуют две основные фирмы, разделяющие его между собой, т.е. имеет место классическая дуополия.

Безусловно, это является весьма сильным предположением, однако оно вполне оправдано в тех случаях, когда доля продаж остальных конкурентов на рассматриваемом сегменте рынке пренебрежимо мала. Хорошим примером может служить отечественный рынок микропроцессоров, который по существу разделили между собой две фирмы: Intel и AMD. 

Изменение объемов продаж конкурирующих фирм с течением времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

с начальными условиями

q₁(0)=q₀₁, q₂(0)=q₀₂                               (2)

Здесь и далее использованы следующие обозначения:

q₁(t) - объем продаж фирмы I;

q₂(t)-объем продаж фирмы II 

N - объем рассматриваемого сегмента рынка сбыта;

a₁ , b₁ , a₂ , b₂ -положительные коэффициенты, характеризующие степень влияния различных факторов на изменения объема продаж первой и второй фирмы соответственно.

Уравнения (1) получены из следующих самых общих соображений.

С достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения объемов продаж фирм со временем задается формулами:

 

где A_i  и B_ij являются в общем случае функциями q_i.

Задача теперь состоит в определении вида  зависимостей A_i=A_i (q) и B_ij =B_ij (q).  

Функция A_i (q) описывает влияние внутренней среды предприятия на рост объема продаж и может быть с учетом логистической поправки записана в виде [2]:

Заметим, что здесь учтен тот факт, что суммарный объем продаж двух фирм q_i+q_j не может превышать N. 

Слагаемое B_ij  (q) выражает влияние внешней среды предприятия на рост объема продаж и учитывает уменьшение объема продаж i-ой фирмы за счет роста продаж j-ой: b_i q_i q _j .

В результате подобных рассуждений удается  построить систему дифференциальных уравнений (1)-(2), которая тривиально обобщается на случай произвольного количества конкурирующих предприятий.

Для удобства дальнейшего исследования введем в рассмотрение безразмерные переменные:

τ= a₁(Nt) - безразмерное время,                   (5) 

y_i =q_i /N  - безразмерный объем продаж i-ой фирмы (i=1,2).

После этого модель задачи приобретает вид

Начальные условия  приобретают вид:y₁(0)=y₀₁, y₂(0)=y₀₂

Таким образом, мы приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6)-(7), представляющей собой основу для математического моделирования рассматриваемого процесса.

Система (6)-(7) интегрировалась ПЭВМ для широкого диапазона параметров и начальных условий с использованием стандартного алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка [5], реализованного в среде разработки VBA для пакета MS Office 2002 XP.

Некоторые полученные результаты приведены ниже в виде графиков зависимости безразмерных объемов продаж фирм y₁ и y₂ от безразмерного времени τ на рис. 1-3. На всех графиках по горизонтальной оси отложена величина τ, а по вертикальной оси- y₁ и y₂.

Рис.1. соответствует ситуации, когда на рынке присутствует только фирма I, т.е. имеет место классическая монополия. Система (1) в этом случае вырождается в задачу Коши для одного уравнения

или в безразмерном виде

Задача (9) допускает аналитическое решение в виде

причем  что полностью согласуется с тем очевидным фактом, что рано или поздно фирма-монополист будет целиком контролировать рассматриваемый сегмент рынка сбыта.

Выражение (10) представляет собой уравнение хорошо известной логистической кривой [3], которая и представлена на рис. 1.

Рис. 2. иллюстрирует динамику процесса раздела рынка между двумя фирмами в том случае, когда их взаимным противодействием, учитываемым посредством коэффициентов b₁ , b₂ , можно пренебречь. Это соответствует ситуации, когда влиянием внешней среды предприятий на рост объемов продаж можно пренебречь по сравнению с влиянием внутренней среды. В этом случае единственным внешним фактором, ограничивающим увеличение объемов продаж, является изначальная ограниченность рынка сбыта.

Рис 3. соответствует наиболее общему случаю, когда в полной мере учитываются как внутренние, так и внешние факторы, определяющие развитие обоих предприятий.

Обращает на себя внимание тот факт, что при прочих равных условиях в конечном итоге в выигрыше оказывается фирма с бо´льшим значением коэффициента a_i  и с ме´ньшим значением коэффициента b_i .

Рис. 1. Динамика изменения объемов продаж при a₁=0,5; a₂=b₁=b₂=0; ,y₁(0) =0,01,y₂(0)= 0,00.

 

Рис. 2. Динамика изменения объемов продаж при a₂/a₁= 0,5; b₁/a₁=0,0; b₂/a₁=0,0 ,y₁(0)= 0,01, y₂(0)= 0,01 .

Следует также отметить, что зависимости отражает основные закономерности развития y₁(τ) и y₂(τ) имеют принципиально нелинейный характер, переживая «взлеты» и «падения», о чем особенно наглядно свидетельствует рис. 3.рассматриваемой ситуации, и использованные Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что, несмотря на некоторую абстрактность, данная модель в целом адекватно для ее построения принципы могут быть с успехом применены для математического описания динамики развития различных экономических систем.

Рис. 3. Динамика изменения объемов продаж при a₂/a₁= 1,000; b₁/a₁=0,984; b₂/a₁=1,000 ,y₁(0)= 0,01, y₂(0)= 0,01 .

Литература

1. Coleman C.S. Combat models // Differential equation models.-New York e.a., 1983.-P. 109131.
2. Murray J. D. Some simple mathematical models  in  ecology//  Math. Spectrum.-19831984.-V. 16, №2.-P. 48.-54.
3. Бережной  Л.И.. Теория оптимального управления экономическими системами: Учебное пособие.СПб.:ИВЭСЭП, Знание, 2002.-64 с.
4. Малыхин В.И.. Математическое моделирование экономики. М., УРАО, 1998.-160 с.
5. Мудров  А.Е.  Численные  методы  для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.- Томск: МП «Раско», 1991.-272 с,: ил.