Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СЕТОК ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Жунусова Л.Х. 1 Тойганбаева Н.А. 2
1 Казахский национальный педагогический университет им. Абая
2 Казахский национальный университет им. аль-Фараби
Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устроиств и процессов можно развить на ряд элементарных: вычисление интергалов, решение дифференциальных уравнениии, определение экстремумов функции и т.д. Для таких задач уже разработаны методы решения, созданы компьютерные программы их решения В данной работе рассмотрены методы решения задач эллиптического типа. Несмотря на то, что постановка задач является классической, благодаря бурному развитию информационно-коммуникационным технологиям решение такого рода задач нетеряют свою актуальность. Применяется метод сеток. И проанализирован численный результат.
математическое моделирование
вычислительная математика
аппроксимация
уравнение Лапласса
метод сеток.
1. Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы: в 2-х ч. – СПб., 2001.
2. George W. Collins, II. Fundamental Numerical Methods and Data Analysis. 2003.
3. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.
4. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике: учебное пособие – М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 523 с: ил.
5. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. Использование MatLab. 3-издание / перевод с английского. М.: Вильямс, 2001. – 720 с.

Введение

Современные компьютеры дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникли практически во все сферы человеческой деятельности.

Реализация математических моделей на компьютере осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области информационно-коммуникационных технологии[1],[2]. Рассмотрим уравнение Лапласса

missing image file (1)

Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике и

missing image file

принимающее на границе Г заданные значения:

missing image file (2)

Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (первой краевой задачей).

Постановка задачи.Для численного решения задачи (1), (2) введем в missing image file сетку

missing image file

missing image file missing image file missing image file

и обозначим через

missing image file

сеточную функцию, заданную на missing image file и missing image file – шаги сетки по координатам missing image file и missing image file.

Чтобы написать разностную схему для (1), (2), аппроксимируем каждую из производных missing image file на трехточечном шаблоне, полагая

missing image file

missing image file

знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением

missing image file (3)

или, в сокращенной записи,

missing image file

В безындексных обозначениях имеем

missing image file

missing image file (4)

К этому уравнению надо присоединить краевые условия

missing image file (5)

Границаmissing image file сетки состоит из всех узлов missing image file, кроме вершин прямоугольника (0, 0) missing image filemissing image file, которые не используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне

missing image file

missing image file

Схему (4) часто называют схемой крест. Если missing image file т.е. сетки по missing image file и missing image file совпадают, то сетку missing image file называют квадратной. На такой сетке разностную схему (4) можно записать в виде

missing image file

Для однородного уравнения missing image file получаем

missing image file

т.е. значение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона[3],[4],[5].

Пусть missing image file – решение задачи Дирихле (1), (2), а missing image file – решение разностной задачи (4), (5). Рассмотрим погрешность

missing image file), missing image file

Подставляя missing image file в (4), (5), получаем для погрешности missing image file неоднородное уравнение

missing image file),missing image file) (6)

с однородным краевым условием

missing image file при missing image file (7)

здесь

missing image file (8)

есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении missing image file уравнения (1).

Покажем, что

missing image file (9)

где

missing image file

В самом деле, учитывая формулы

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

находим

missing image file

Отсюда и из (1) следует (9).

Таким образом, схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.

Рассмотрим на примере следующую задачу:

Найти непрерывную функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной

области Ω = {( missing image file

уравнению Лапласа

missing image file

и принимающую на границе области W заданные значения, т. е.

missing image file missing image file,

missing image file missing image file,

missing image file missing image file,

missing image file missing image file,

Для ее решение составлена программа вычисление алгоритма метода сеток. Полученный численный расчет проанализированны и поведение решение показано на рисунке.

missing image file

Поведение решение

Заключение

Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости создали необходимую базу широкого поиска эффективных разностных схем для решения задач математической физики. Алгоритмы решения задач с помощью конечно-разностных методов, представляют собой сочетание методов построения разностных аналогов задач и методов их решения. Поэтому прогресс в теории конечно-разностных методов обязан взаимосогласованному развитию этих направлении исследовании.


Библиографическая ссылка

Жунусова Л.Х., Тойганбаева Н.А. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СЕТОК ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-1. – С. 76-79;
URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34781 (дата обращения: 16.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074