Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

ОПИСАНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕЧНЫХ И ПРОИЗВОДНЫХ ОТ НИХ МОНОМОДУЛЯРНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Иванов В.В. 1
1 ФБГОУ ВПО«Южно-Российский государственный технический университет»
Обсуждается проблема символьного описания и классификации точечных мономодулярных фрактальных структур в 3D-пространстве.
фрактальная структура
фрактальная размерность
итерационная последовательность
канторово множество
1. Иванов В.В., Таланов В.М. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. 2010. Т.1. №1. С.72-107.
2. Иванов В.В., Шабельская Н.П., Таланов В.М. // Совр. наукоемкие технологии, 2010. №10. С.176-179.
3. Иванов В.В., Демьян В.В., Таланов В.М. // Междунар. журн. эксп. образования, 2010. №11. С.153-155.
4. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2011. Т.2. № 3. С.121-134.
5. Иванов В.В., Таланов В.М. // Успехи современного естествознания. 2012. №3. С.56-57.
6. Иванов В.В., Таланов В.М., Гусаров В.В. // Наносистемы: Физика, Химия, Математика. 2012. Т.3. № 4. С.82-100.
7. Иванов В.В., Таланов В.М. // Журн. структурной химии. 2013. Т.54. №2. С.354-376.

Фрактальный характер структуры в 3D-пространстве может определяться как позиционным упорядочением одинаковых структурных элементов с постоянным изменением масштаба позиционирования, так и подобием строения структурных фрагментов (локальной структуры) на разных уровнях иерархии, достигаемого путем инъективных или сюръективных отображений. Точечные фрактальные структуры – результат позиционного упорядочения простейших структурных элементов без внутренней структуры, т.е. точек, по определенным фрактальным законам. Классическими примерами подобных точечных структур в 1D-пространстве являются итерационная последовательность точек и конторово множество точек.

По аналогии с используемыми обозначениями фракталов в [1-7] для точечных фрактальных структур введем следующее символьное обозначение

F(N){dsp, dfrag, dgen +(-)},

где: F(N) – имя структуры и характеристики классификационной принадлежности, dsp, dfrag и dgen – топологические размерности пространства, в котором существует данная структура, структурного фрагмента, на котором задан генератор, и собственно генератора фрактала, соответственно. Знак + или – указывает тенденцию изменения фрактальной размерности генератора Dim GenF(N) по сравнению с его топологической размерностью dgen.

Формально возможны следующие значения топологических размерностей: dsp[1, 2, 3], dfrag[0, 1, 2], dgen[0, 1, 2]. Разные непротиворечивые сочетания этих значений для dsp, dfrag и dgen определяют разные классы фрактальных структур. Перечислим основные 12 классов точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур.

1D-пространство:

1) F{1,0,0+},

2) F{1,0,1-}.

2D-пространство:

3) F{2,0,0+},

4) F{2,1,1+}: sv F{2,1,1+} = F{1,0,0+},

5) F{2,0,1-},

6) F{2,1,2-}: sv F{2,1,2-} = F{1,0,1-}.

3D-пространство:

7) F{3,0,0+},

8) F{3,1,1+}: sv F{3,1,1+} = F{2,0,0+},

9) F{3,2,2+}: sv F{3,2,2+} = F{2,1,1+}, sv2 F{3,2,2+} = F{1,0,0+},

10) F{3,0,1-},

11) F{3,1,2-}: sv F{3,1,2-} = F{2,0,0+},

12) F{3,2,3-}: sv F{3,2,3-} = F{2,1,2-}, sv2 F{3,2,3-} = F{1,0,1-}.

Указанные выше непрерывные преобразования структур классов 4, 6, 8, 9, 11, и 12 типа свертки в одном (sv) или двух (sv2) ортогональных направлениях показывают генетическую связь линейчатых структур и структур из фрагментов поверхности с собственно точечными структурами. Отметим, что линейчатые структуры и структуры из фрагментов поверхности могут быть получены путем применения к ней одного (или лвух) из возможных преобразований непрерывной группы трансляций ty или tyz в направлениях, ортогональных к пространству существования анализируемой точечной структуры.

Учитывая, что при каждой свертке фрактальная размерность структуры изменяется на единицу, имеем следующие простые соотношения:

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = 1 + Dim sv F(N){dsp, dfrag, dgen};

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = 2+ Dim sv2 F(N){dsp, dfrag, dgen}.

Необходимо также учесть, что локальная размерность точечной фрактальной структуры определяется фрактальной размерностью ее генератора Gen F. Тогда имеем

Dim F(N){dsp, dfrag, dgen} = Dim Gen F(N){dsp, dfrag, dgen}.

Локальная фрактальная размерность структуры, генератор которой задает определенный коэффициент ее самоподобия в виде отношения K = (b/a), может быть представлена следующим образом. Обозначим

Gen F(N){dsp, dfrag, dgen} = Gen F(K).

Тогда для точечных фрактальных структур Dim Gen F(K) = ln(Da)/lnb, где D – мерность пространства, в котором существует фрактал. В частности, имеем

в 1D-пространстве – Dim Gen F(K) = lna/lnb,

в 2D-пространстве – Dim Gen F(K) = ln(2a)/lnb,

в 3D-пространстве – Dim Gen F(K) = ln(3a)/lnb.

Таким образом, предложено символьное описание точечных и некоторых производных от них мономодулярных фрактальных структур в 3D-пространстве, проведена их первичная классификация и определены основополагающие соотношения между их фрактальными размерностями.


Библиографическая ссылка

Иванов В.В. ОПИСАНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕЧНЫХ И ПРОИЗВОДНЫХ ОТ НИХ МОНОМОДУЛЯРНЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР // Успехи современного естествознания. – 2013. – № 8. – С. 134-135;
URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=32747 (дата обращения: 28.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674