Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОФИЛЯ СТРАТИФИКАЦИИ ЖИДКОСТИ

Козьменко Ю.Г. Потетюнко Э.Н.

На основе известных дисперсионных кривых для свободных колебаний неоднородной жидкости определена ее неоднородность. В метриках пространств C, L1L2 найдена погрешность отыскиваемой неоднородности в зависимости от точности входной информации (точности измеряемых длин внутренних волн в неоднородной жидкости и точности задания их частот).

В океанологическом приближении рассматривается задача о свободных колебаниях неоднородной жидкости [1]:

f                   (1)

где f- вектор скорости в декартовой системе координат f, связанной с поверхностью Земли, p - гидродинамическое давление, ρ - плотность жидкости, f- ускорение свободного падения, f - сила Кориолиса, f - вектор угловой скорости вращения Земли, k - единичный орт, направленный по оси z (противоположно силе тяжести).

Граничные условия запишутся следующим образом:

условия непротекания на дне имеют вид

f,

кинематическое граничное условие:

f,

здесь f - возвышение свободной поверхности,

динамическое граничное условие записывается в следующем виде

f.

В линейном приближении решение задачи (1) ищется в виде бегущих волн. В результате этого рассматриваемая задача сводится к следующей задаче для амплитудной функции вертикальной скорости W:

f                                        (2)

В приближении Буссинеска с граничным условием типа «твердой крышки» (фильтрация поверхностных волн) в безразмерных величинах, после замены переменных

f, f, f, f, f,

f, f,

задача сведена к следующей (опущено обозначение безразмерности «~», f заменено на z):

f                    (3)

Будем считать, что неоднородность жидкости задана по линейному закону f и значения ω таковы, что существует точка поворота. То есть, пусть на отрезке [0,1] в одной точке z0 функция f меняет знак, так что

f, f,

f, f.

Точка z0 называется точкой поворота, т.е. точка, в которой обращается в ноль переменный коэффициент в дифференциальном уравнении второго порядка системы (3).

Решение краевой задачи строим в явном виде:

f, f;

f, f;

f, f, f.

Удовлетворяя граничным условиям, получаем частотное уравнение

f.

Считая f, заменим в этом уравнении функции Бесселя их асимптотическим представлением [2]

f, при f,

и учтем, что при больших z справедливо f.

Частотное уравнение примет вид

f.

Отсюда выводим

f.

Так как f, где f, получим

f, f

Для линейного профиля скоростей интеграл вычисляется в явном виде, на основе которого при заданных значениях f, f, построены дисперсионные кривые.

Теперь ставится задача: считая, что известны значения ω и k с дисперсионных кривых, определить параметры неоднородности жидкости f, f.

Для их определения выписываем уравнение для двух пар (ω, k)

f, f,

что приводит к нелинейной системе для определения параметров  f, f.

Нелинейность системы обуславливает неоднозначность определения параметров  f, f. Для однозначности определения этих параметров выписывается «избыточное» число уравнений для «избыточных» пар чисел ω и k, и параметры  f, f определяются как минимум функционала

f.

Изучается точность восстановленной функции неоднородности жидкости:

в пространстве C

f;

в пространстве L1

f

в пространстве L2

f

Здесь f - восстановленная функция стратификации по найденным значениям параметров  f, f, а функция f - заданная стратификация жидкости.

При этом исследуется вопрос влияния на единственность и точность восстановления неоднородности жидкости тот факт, берутся ли пары чисел f с одной дисперсионной кривой, или с разных. Также исследуется влияние близости между собой точек, взятых с дисперсионных кривых, на точность восстановления профиля стратификации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981. - 301 с.
  2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

Библиографическая ссылка

Козьменко Ю.Г., Потетюнко Э.Н. ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОФИЛЯ СТРАТИФИКАЦИИ ЖИДКОСТИ // Успехи современного естествознания. – 2010. – № 5. – С. 105-108;
URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=8142 (дата обращения: 16.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074