Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

ЗАДАЧА БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Кумыкова С.К. 1 Шарданова М.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
Исследован вопрос однозначной разрешимости задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа в неограниченной области.
задача Бицадзе-Самарского
задача Коши
уравнение Фредгольма
сингулярное интегральное уравнение.
1. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2013. – №2 (52). – С. 3-7.
2. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Успехи современного естествознания. – 2013. – № 11. – С.136-140.
3. Мускалишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с.
4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука. 2006. – 287 с.
5. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой – полуполоса // Дифференциальные уравнения. – 2014. – Т.50, №6. – С. 807-816.
6. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: «Физико-математические науки». – 2013. – №1(30). – С. 150-158.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. – 2012. – №9 (100). – С. 52-60.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта // Дифференциальные уравнения. – 2013. – Т.49, №10. – С. 1340-1349.
9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
10. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. – М.: Высшая школа, 1985. – 304 с.

Введение

Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных задач для уравнений смешанного типа. К настоящему времени хорошо исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа, которые в гиперболической части области их задания редуцируются к уравнением Эйлера-Дарбу-Пуассона. Наряду с этим задачи со смещением и задачи типа задач Бицадзе-Самарского образуют широкий класс нелокальных задач, теория которых далека от окончательного завершения. Актуальность исследования таких задач можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладными значениями.

Цель исследования: доказать однозначную разрешимость задачи Бицадзе- Самарского для уравнения смешанного типа в неограниченной области.

Постановка задачи. Рассматривается уравнение

missing image file (1)

в области missing image file плоскости комплексного переменного z = x + iy, где missing image file полуплоскость missing image file конечная область полуплоскости missing image file, ограниченная характеристиками

missing image file

missing image file

уравнения (1), выходящими из точек A(0,0), B(0,0) и отрезком AB прямой missing image file; missing image fileинтервал missing image file прямой missing image file.

Задача. Найти функцию missing image file со следующими свойствами:

missing image file причем

missing image file

ограничены, missing image file при missing image file может обращаться в бесконечность порядка missing image file где missing image file

2. missing image file удовлетворяет уравнению (1) в missing image file и краевым условиям

missing image file (2)

missing image file

missing image file(3)

где

missing image file

missing image file

missing image file,missing image file точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки missing image file с характеристиками AC и BC соответственно; missing image fileоператоры дробного в смысле Римана-Лиувилля интегро-дифференцирования [9]; φ(x), α(x), β(x), γ(x), c(x), d(x) – заданные функции, причем

missing image file

α(x), β(x), γ(x), c(x), d(x) missing image file);

missing image file и могут обращаться в бесконечность порядка не выше missing image file при missing image file и missing image file, а при достаточно больших missing image file удовлетворяют неравенству missing image file где missing image file

Задача (1)-(3) относится к классу краевых задач со смещением [4], исследованием которых для уравнений смешанного типа занимались многие авторы [1,2,4-8]. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что они существенно обобщают задачу Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги.

Теорема единственности. В области D не может существовать более одного решения задачи (1)-(3), если выполняются условия

missing image file

missing image file (4)

missing image file

missing image file(5)

где

missing image file

Доказательство. Пусть u(x,y) решение задачи, удовлетворяющей однородным граничным условиям

missing image file

missing image file

missing image file

Очевидное тождество missing image file перепишем в виде

missing image file

Проинтегрировав последнее по области missing image file и учитывая, что missing image file missing image fileполучим

missing image file, (6)

где missing image file

Единственность решения задачи (1)-(3) будет следовать из (6), если мы докажем, что

missing image file

Выписывая решение задачи Коши в области missing image file[ 10] и удовлетворив условию (3), получим соотношение, между missing image file и missing image file, принесенное из области missing image file на линию AB.

missing image file

missing image file (7)

где

missing image file)

missing image file)

missing image file)

При выполнении условий (4),(5) теоремы, пользуясь методикой, примененной в работах [5-8 ] , будем иметь

missing image file

где

missing image file

С учетом c1 sin2πε cosπε > 0 заключаем, что missing image file Следовательно, решение задачи (1)-(2) единственно, так как missing image fileв missing image file как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в missing image file как решение однородной задачи missing image file

Существования решения задачи.

Дополнительно будем предполагать, что

missing image file), missing image file),

missing image file).

Воспользуемся известным соотношением из области missing image file (8)

missing image file

Исключив missing image file из (7) и (8) вопрос существования решения задачи редуцируем к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения [3]

missing image file

missing image file (9)

где

missing image file

missing image file

Здесь A(x) ≠ 0, A(x), B(x), γ(x) ∈ C1(J), правая часть missing image file и при missing image file и missing image file может обращаться в бесконечность порядка ниже missing image file Ядро missing image file имеет слабую особенность и допускает оценку

missing image file

Действительно,

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

Так как

missing image file

для любых missing image file и missing image file то отсюда сразу следует наше утверждение.

Таким образом, задача (1)-(3) эквивалентна в смысле разрешимости сингулярному интегральному уравнению (9).

Условие

missing image file

гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (9) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого будет следовать из единственности решения задачи. По найденному missing image file можно определить missing image file и решение задачи (1)-(3) в области missing image file по формуле [10]

missing image file

а в области D2 как решение задачи Коши [10]

missing image file

где

missing image file


Библиографическая ссылка

Кумыкова С.К., Шарданова М.А. ЗАДАЧА БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-1. – С. 80-83;
URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34782 (дата обращения: 16.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074