Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Водахова В.А. 1 Тлупова Р.Г. 1 Шерметова М.Х. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
Исследован вопрос однозначной разрешимости внетреннекраевой задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
функция Грина
нагруженное уравнение
уравнение Вольтерра
внутреннекраевая задача.
1. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференциальные уравнения. Минск. – 1982. – Т.18, №2. – С.280-285.
2. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М. Нахушева // Дифференциальные уравнения. Минск. – 1983. – Т.19, №1. – С.163-166.
3. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Успехи современного естествознания. – 2013. – №11. – С.136-140.
4. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Успехи современного естествознания. – 2014. – №7. – С.90-92.
5. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2013. – №2 (52). – С.3-7.
6. Джураев Т.Д., Иргашев Ю.И. О краевой задаче Каттабрига для нелинейных уравнений третьего порядка с кратными характеристиками. – Ташкент: ФАН, 1976. – С.141-155.
7. Дженашев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. – Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995. – 270 с.
8. Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженного гаперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменение типа // Украинский мат.журнал. – 1995. – Т.47, №12. – С.1639-1652.
9. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.; Л.: Физматгиз, 1963. – 358 с.
10. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложение. – М.: Наука, 2012. – 232 с.

Введение

Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных задач для нагруженных уравнений различных типов. В последние годы появилось значительное число публикаций, проблемно ориентированных на нагруженные уравнения [4, 7, 10], где исследовались локальные и нелокальные краевые и внутреннекраевые задачи для нагруженных уравнений в частных производных гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов. Следует отметить такие применения нагруженных уравнений, как метод математического моделирования нелокальных, в том числе фрактальных, процессов и явлений, и метод эффективного поиска решений дифференциальных уравнений. Математической основой физики фракталов, в особенности дробной динамики, стали нагруженные дифференциальные уравнения, демонстрирующие роль этих уравнений в различных отраслях современной науки. Актуальность исследования краевых задач для нагруженных уравнений можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения результатов, так и прикладным значениям.

Цель исследования: доказать однозначную разрешимость внутреннекраевой задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

Постановка задачи. В области missing image file рассмотрим уравнение

missing image file. (1)

Задача А. Найти регулярное в области D решение уравнения (1), из класса missing image file с непрерывной вплоть до x=1 производной первого порядка по x, удовлетворяющее условиям:

missing image file), missing image file (2)

missing image file), missing image file), missing image file (3)

missing image file

missing image file

missing image file), missing image file (4)

где τ(y), φ1(y), φ2(y), α1(y), α2(y), β1(y), β2(y), δ(y) – заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, x0 – фиксированная точка интервала 0 < x < 1 причем β2(y) ≠ 0.

Задача А относится к классу нелокальных задач, исследованием которых занимались многие авторы [1 – 6, 8].

Доказательство существования и единственности решения. Рассмотрим случай, когда missing image file то есть уравнение

missing image file (5)

Пусть существует решение missing image file задачи (2)-(4),

missing image file), missing image file (6)

для уравнения (5).

Функция Грина задачи (2),(3),(6) для уравнения

missing image file (7)

задается формулой [6, 8]:

missing image file)

где missing image fileфундаментальные решения уравнения (7), которые имеют вид:

missing image file

missing image file

где

missing image file

missing image fileфункция Бесселя, функция missing image file и missing image file – функции Эйри и удовлетворяют уравнению [9]:

missing image file

Основные свойства функций missing image file и missing image file, их оценки вместе с частными производными порядка missing image file приведены в [6, 8].

Из свойств функции Грина заключаем, что решение missing image file в области D представимо в виде

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

где

missing image file

Найдем значение missing image file. Для этого положим missing image fileв последнем равенстве.

Получим:

missing image file (8)

Обозначим missing image file), тогда (8) перепишется в виде:

missing image file (9)

где

missing image file (10)

missing image file).

Равенство (9) есть интегральное уравнение Вольтера второго рода, которое однозначно разрешимо.

Решение интегральное уравнения (9) можно выписать через резольвенту missing image fileядра missing image file:

missing image file (11)

Таким образом, решение задачи (1),(2),(3), и missing image file имеет вид

missing image file (12)

Удовлетворим краевому условию (4). Для этого из (12) найдем missing image file Имеем

missing image file (13)

Подставим (13) в краевое условие (4). В результате получим равенство:

missing image file(14)

Преобразовав (14) с учетом (10), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно функции missing image file

missing image file (15)

где

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

По условию missing image fileто есть (15) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в классе missing image file). Обращая его через резольвенту ядра missing image file) получим значение φ(y) то есть missing image file).

Таким образом, решение задачи (2)-(4) и (6), существует, единственно и определяется по формуле (12).

В случае, когда missing image file опираясь на

свойства функции Грина для задачи (7), (2)-(3)

и missing image file ) имеем (15)

missing image file

Интегрируя внутренний интеграл в первом слагаемом по частям, получим:

missing image file(16)

Равенство (16) перепишем в виде (17)

missing image file)

где

missing image file

missing image file

missing image file

Обращая (17) через резольвенту missing image file ядра missing image file будем иметь

missing image file

или

missing image file (18)

После преобразования (18), получим

missing image file) (19)

где missing image fileи missing image file выражаются через интегралы от missing image file и missing image file. Полагая в (18) missing image file и считая пока правую часть ее известной, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно missing image file

missing image file

missing image file)

которое имеет только одно решение.

Найденное значение missing image file подставим в равенство (19). Удовлетворяя его граничному условию (4), снова получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно missing image file, которое однозначно разрешимо.


Библиографическая ссылка

Водахова В.А., Тлупова Р.Г., Шерметова М.Х. ВНУТРЕННЕКРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-1. – С. 71-75;
URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=34780 (дата обращения: 16.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074