Научный журнал
Успехи современного естествознания
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,823

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СМЕШАННОГО ТИПА

Карова Ф.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ
Для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка путем редукции к уравнению Фредгольма второго рода исследован вопрос разрешимости задачи со смещением.
краевая задача со смещением
оператор дробного дифференцирования
оператор дробного интегрирования
задача Коши
уравнение Фредгольма
сингулярное интегральное уравнение.
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с.
2. Джураев Т.Д., Сопуев А.С., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. – Ташкент: ФАН, 1986. – 220 с.
3. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Баларского научного центра РАН. – 2010. – № 5. – C. 5–14.
4. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – Т. 17, № 1. – C. 81–90.
5. Нахушев А.М. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т. 14, № 1. – C. 66–73.
6. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, №8. – С. 1140–1149.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. – 2012. – № 9. – C. 52–60.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. – 2013. – №1. – C. 150–158.
9. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача со смещением для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами // Вестник Самарского государственного университета. Серия: Физико-математические науки. – 2012. – № 4. – C. 17–25.
10. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
11. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. – М.: ИЛ, 1960. –299 с.
12. Repin O.A., Kumykova S.K. A problem with generalized fractional integro-differentiation operators of arbitrary orders // Russian mathematics. – 2012. –№ 56 (12). – P. 50–60.
13. Repin O.A., Kumykova S.K. On a boundary value problem with a shift for an equation of mixed type in an unbounded domain // Differential Equations. – 2012. – № 48 (8). – P. 1127–1136.

Введение

Одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. В настоящее время эта теория интенсивно развивается, так как появилось достаточно много прикладных задач, математическое моделирование которых обусловило исследование различных типов уравнений в рассматриваемой области изменения независимых переменных. Понятие уравнений смешанного типа в настоящее время включает всевозможные комбинации двух и более классических типов уравнений. Особый интерес представляют краевые задачи для уравнений с частными производными смешанного типа, так как они мало исследованы и находят применение в важных вопросах механики, физики и техники. Нелокальные краевые задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений исследовались в работах [2-4], [5-9] и [11-13]. Подробная библиография содержится в [2].

Цель исследования: доказать существование решения задачи со смещением для параболо-гиперболического уравнения.

Постановка задачи.

Рассмотрим уравнение

01_2.pdf

в конечной области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых х = 0, х = 1, y = 1 соответственно и характеристиками уравнения (1)

01_2.pdf

Пусть

01_2.pdf

Задача. Найти функцию u(x,y) со следующими свойствами:

01_2.pdf

01_2.pdf

2. u(x,y) – решение уравнения (1) при y ≠ 0;

3. u(x,y) удовлетворяет условиям

01_2.pdf

01_2.pdf 01_2.pdf

причем

01_2.pdf

01_2.pdf

где J – интервал 0 < х < 1 прямой y = 0; θ0(x), θ1(x) – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0) с характеристиками AC,BC.

Доказательство существования решения задачи.

Решение задачи Коши для уравнения (1) в области Ω2 при |λ| < 1 имеет вид [1]

01_2.pdf 01_2.pdf

где

01_2.pdf

01_2.pdf

Вычислим 01_2.pdf

01_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

где Dlax – здесь и далее, операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро – дифференцирования [10].

Переходя в уравнении (1) к пределу при y → +0, получим соотношение между τ(x) и ν(x), принесенное из Ω1 на J: 02_2.pdf 

Проинтегрировав последнее трижды с учетом условий (2), будем иметь

02_2.pdf

02_2.pdf

Подставив u[θ0(x)], u[θ1(x)] и τ(x) из (5) в (3), получим уравнение относительно ν(x)

02_2.pdf

02_2.pdf 

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

где

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

02_2.pdf

Из условий гладкости на известные функции следует, что 03_1.pdfУравнение (6) после преобразований примет вид

03_1.pdf

03_1.pdf

где

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

03_1.pdf

где F(a,b,c,z) – гипергеометрическая функция Гаусса [10].

Подействовав на обе части полученного уравнения оператором pic13631.PNG, окончательно получим уравнение Фредгольма второго рода

03_1.pdf

где

03_1.pdf

04_1.pdf

Таким образом, вопрос существования решения задачи (1) – (3) эквивалентен вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода (8) со слабой особенностью в ядре К(х,ξ). По найденному ν(х) можно определить τ(х) по формуле (5) и решение задачи (1) – (3) в области Ω2 по формуле (4), а в области Ω1 как решение задачи (1), (2), u(x,0) = τ(x) [2].


Библиографическая ссылка

Карова Ф.А. ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА СМЕШАННОГО ТИПА // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 1. – С. 60-62;
URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33204 (дата обращения: 22.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074