Scientific journal
Advances in current natural sciences
ISSN 1681-7494
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,775

FUZZY SUBSTITUTION AND THE PRINCIPLE OF MAMDANI

Burmistrova O.N. 1 Kobrunov A.I. 1 Kozhevnikova P.V. 1
1 Ukhta State Technical University
The main elements of the apparatus of representation for fuzzy data and fuzzy dependency with their reliability measures. In more detail the stages of the composition of fuzzy relations, implemented by means of conventional procedures max – min fuzzy convolution fuzzy relations (composition Mamdani). It is proved that the composition Mamdani has a similar sense of substituting the equations to eliminate common recurring variables. The results of calculations of the composition Mamdani, which shows that indeed, the composition serves as a permutation equations and exclusion of intermediate variables. The results are applicable to the task of establishing fuzzy relationship between the starting and forecast parameters of the chain of relations containing intermediate settings, which is especially important to establish a relationship between the quantities characterizing the geophysical and petrophysical properties of rocks.
the task
parameters
equations
methods
mathematical modeling

Нечеткие переменные естественным образом возникают как исходные данные, для установления зависимостей между физико-геологическими параметрами, используемыми для прогноза одних физико-геологических параметров по другим [2, 3]. В отличие от традиционных методов вывода регрессионных уравнений по набору входных данных [1], и дальнейшего оперирования этими уравнениями как основой для прогноза параметров, концепция использования нечетких переменных основывается на полноценном учете всей совокупности данных, включая те неопределенности, которые реально существуют.

Основные концептуальные положения, лежащие в основе методов нечеткого моделирования, применительно к задачам моделирования в промысловой геологии состоят в следующем [4, 5]:

– влияние неоднородностей, присущих распределенным параметрам физико-геологической модели среды, проявляющимся в форме погрешностей измерений, приводит к нечеткости входных данных, используемых при моделировании, которые характеризуются распределением своих значений в выделенном диапазоне и ранжированным по уровню доверия результатам;

– те же факторы приводят к недоопределенности данных, используемых при построении зависимостей, с целью обучения прогнозу параметров по измеренным данным. Зависимости должны отражать объективную неопределенность связей между параметрами и быть ранжированными по достоверности во всем диапазоне своей области определения и допустимых значений;

– итоговая физико-геологическая модель, определенная как система распределенных геолого-геофизических параметров, должна наследовать ранжированную по достоверности неопределенность исходных данных в форме многовариантности и дифференцированной по компонентам вариантов оцененной достоверности.

Адекватным аппаратом, представления нечетких данных и нечетких зависимостей с оценкой их меры достоверности служат принципы нечеткого моделирования, основанного на трех компонентах:

– неопределенные данные с оценкой меры доверия представляются в форме функций принадлежности для нечетких величин;

– неопределенные связи с их дифференцированным ранжированием по достоверности представляются в форме отношений между нечеткими величинами;

– прогноз параметров модели с ранжированной оценкой достоверности реализуется построением функции принадлежности для пространственного распределения параметров физико-геологической модели и выполняется на принципах нечеткого логического вывода, основанного на функции принадлежности для измеренных нечетких величин и нечеткого отношения, между измеряемым и прогнозным параметрами полученными на этапе петрофизических исследований керна.

В приведенной концепции основными элементами служат:

Фазификация исходных данных – представление их в форме функций принадлежности ?(x, Ri) для исходных величин параметра x в локальных интервалах Ri, в которых будет выполняться прогнозирование.

Фазификация отношений, состоящая в построении функций принадлежности для отношений между исходными x, промежуточными y, h, …, ? и прогнозными параметрами z: ?(x, y), ?(y, h), ?(?, z).

Расчёт композиций нечётких отношений между входными параметрами для прогноза и итоговыми через систему промежуточных параметров y, h, …, ? для установления отношений ?(x, z) между начальными и конечными параметрами.

Для расчета функции принадлежности для параметра y по заданным на основе фазификации данных ??, функции принадлежности исходного параметра – ???(x), и установленной на основе фазификации данных ??, функции принадлежности для отношения между x и y – ???(x, y), используем традиционную максиминную нечёткую свёртку (композици

burmistr01.wmf):

(1)Эта формула соответствует обычному правилу матричной алгебры – произведение матрицы эквивалентной ???(x, y) на вектор ???(x), но сформулированному на языке логических умножений – пересечений и сумм – объедин

ений.Далее, по найденной ??????(y) и заданному отношению ??(y, z) н

burmistr02.wmfходим

: (2)Подставляя выражение для ??????(y) в последнее соотношение,

burmistr03.wmfполуч

аем (3)

Оburmistr04.wmfознач

ив (4)получаем для ?

???????(z).Соотношение (4) переписывается содержательным раскрытием операций пересечения и объединения в эквивалентной форме следующ

burmistr05.wmfм обр

азом: (5)Это искомое соотношение для подстановок в представлениях функций принадлежности для нечетких величин. Соотношение (5) известно как композиция Мамдани ???(x, y) и ??(y, z) и, как выяснено, имеет смысл, аналогичный подстановке уравнений для исключения общих повторяющихся переменных. Этим обосновываются правила вычисления цепочек композиций промежуточных отношений для получения функции принадлежности итогового отношения ?????(x, z) между исходными и итоговыми прогнозными параметрами. Это исключительно важное и определяющее обстоятельство для формирования правил нечеткой математики, обеспечивающих анализ неопределенных нечетких данных, полученных в результате экспериментов. Оно обосновывает применимость композиции Мамдани отношений как подстановки нечетких зависимостей для нахождения итоговых законов, обеспечивающих прогноз нечетки

х параметров.Продемонстрируем эквивалентность этого правила обычным приемом подстановок уравнений в некоторых простей

ших случаях. Далее на рисунках приведены исходные данные и их нечеткие модели для отношений ???(x,

y) и ??(y, z).Для линейных

Исходные данные: y = x

Нечеткая модель ???(x, y)

pic_7.wmf

pic_8.tif

Исходные данные: z = 7 – y

Нечеткая модель ??(y, z)

pic_9.wmf

pic_10.tif

а

в

исимостей:Композиция Мамдани ?????(x, z) этих отношений выглядит сле

д

pic_11.tifю

щим образом:Рис. 1. Композиция Мамдани линейных зависимостей: черным цветом обозначен график функций, полученный путем подста

новки уравненийКак видно, в полном соответствии с «алгебраической аналогией» происходит подстановка уравнений и исключение промежуточно

го параметра y.Для нелинейны

х

Исходные данные: y = x2 + 1

Нечеткая модель ???(x, y)

pic_12.wmf

pic_13.tif

Исходные данные: burmistr06.wmf

Нечеткая модель ??(y, z)

pic_14.wmf

pic_15.tif

з

а

висимостей:Композиция Мамд

а

pic_16.tifи

?????(x, z):Рис. 2. Композиция Мамдани нелинейных зависимостейДля более выраженных

Исходные данные: burmistr07.wmf

Нечеткая модель ???(x, y)

pic_17.wmf

pic_18.tif

Исходные данные: burmistr08.wmf

Нечеткая модель ??(y, z)

pic_19.wmf

pic_20.tif

нелинейностей: Композиция Мамд

pic_21.tif

ни ?????(x, z):Рис. 3. Композиция Мамдани более выраженных нелинейных зависимостейПриведенные результаты позволяют использовать композицию Мамдани в моделях нечеткого анализа как нечеткий аналог подстановок зависимостей, что особо важно для установления отношений между величинами, характеризующими петрофизические и геофизические свойства горных пород.